INTEGRAL ( ∫ )
Kita telah mengkaji pendiferensialan (penurunan) maka kebalikan dari turunan disebut anti pendiferensialan (anti penurunan).
Definisi:
Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi.
NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi
Ax (x2) = 1/3 x3 + C.
Lalu Leibniz memakai lambang ∫ … dx yang disebut dengan notasi Leibniz, ditulis:
∫ x2dx = 1/3 x3 + C.
Teorema A
(Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka
∫ xr dx = (xr+1) / (r + 1) + C.
Teorema B
∫ sin x dx = -cos x + C dan ∫ cos x dx = sin x + C
Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran.
Teorema C
(Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka:
(i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
(ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu?
(iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx
Teorema D
(Aturan Pangkat yang diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dari r suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka :
∫ [g(x)]r g’(x) dx = {[g(x)]r+1/r+1} + C
CONTOH SOAL 1
Cari anti turunan yang umum dari f(x) = (4x – 7)
Penyelesaian :
∫ (4x – 7) dx = ∫ 4x dx - ∫ 7 dx
= 4 ∫ x dx – 7 ∫ 1 dx
= 4 ( x2/2 + C1 ) - 7 ( x + C2 )
= 2x2 - 7x + ( 4C1 - 7C2 )
= 2x2 - 7x + C
CONTOH SOAL 2
Cari ∫ (x5 + 2x)21 (8x3 + x2) dx
Penyelesaian :
Andaian g(x) = x5 + 2x maka g’(x) = 8x3+ x2. Jadi menurut teorema D
∫ (x5 + 2x)21 (8x3 + x2) dx = ∫ [g(x)]21 g’(x) dx = [g(x)]22/22 + C
= (x5 + 2x)22 / 22 + C
PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam pasal sebelumnya, ditulis
∫ f(x) dx = F (x) + C
dan ini benar asalkan F’(x) = f(x). Dalam bahasa diferensial F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx
Apakah suatu persamaan diferensial itu?
Metode 1 Bilamana persamaan berbentuk dy/dx = g(x), kita amati bahwa y harus berupa suatu anti turunan dari g(x), yakni y = òg(x) dx. Contoh: y = ò 2x dx = x2 + C.
Metode 2 Pikirkan dy/dx sebagai suatu hasil bagi dua diferensial. Bilamana kedua ruas dari dy/dx = 2x dikalikan dengan dx, diperoleh
dy = 2x dx
selanjutnya kedua ruas diintegralkan dan disederhanakan.
∫ dy = ∫ 2x dx
y + C1 = x2 + C2
y = x2 + C2 – C1
y = x2 + C
Masalah Gerak
Ingat bahwa jika s(t), v(t) dan a(t) masing-masing menyatakan posisi, kecepatan, dan percepatan, pada saat t dari suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat, maka
v(t) = s’(t) = ds/dt
a(t) = v’(t) = dv/dt = d2s/dt2
CONTOH SOAL 1
Selesaikan persamaan diferensial dy/dx = (x + 8x2) / y2
Kemudian cari penyelesaian bilamana x = 0 dan y = 4.
Penyelesaian:
y2 dy = (x + 8x2) dx
jadi,
∫ y2 dy = ∫ (x + 8x2) dx
1/3 y3 + C1 = x2/2 + 8/3 x3 + C2
y3 = 3x2/2 + 8 x3 + (3C2 – 3C1)
y3 = 3x2/2 + 8 x3 + C
y = 3√(3x2/2 + 8 x3 + C)
syarat x = 0, y = 4
4 = 3√C
64 = C
Jadi
y = 3√3x2/2 + 8 x3 + 64
kemudian untuk pengecekan :
dy/dx = 1/3 (3x2/2 + 8 x3 + 64 )-2/3 (3x + 24x2)
= (x + 8x2) / (3x2/2 + 8 x3 + 64 )2/3
pada ruas kanan diperoleh
(x + 8x2) / (y2) = (x + 8x2) / (3x2/2 + 8 x3 + 64 )2/3